欧几里得公式证明

先说结论：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：

写出式子：a = b*q + a mod b令r = a mod b

① 假设d是(a,b)的一个公约数，则

d|a且d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

② 假设d是(b,a mod b)的公约数，则

d|b且d|r ，但是a = kb + r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证